Les fonctions - Educ PATSH

1.1. Définition

Une fonction réelle d’une variable réelle est une application d’une partie de ℝ dans ℝ.
On la note :
$f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto f(x) = y$

Remarque :

Domaine de définition : L’ensemble des éléments $(x \in \mathbb{R})$ pour lesquels $f(x)$ est défini.
Une fonction réelle est aussi appelée fonction numérique.

1.2. Domaine de définition

Le domaine de définition d’une fonction $f(x)$ est l’ensemble des réels $(x)$ pour lesquels l’expression $f(x)$ a un sens et appartient à ℝ.

1.2.1. Fonctions polynômes

Une fonction polynôme est de la forme :
$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \quad \text{avec} \quad a_i \in \mathbb{R}.$

Domaine de définition :
$D_f = \mathbb{R}$ ou $D_f = ]-\infty, +\infty[$

1.2.2. Fonctions rationnelles

Une fonction rationnelle est de la forme :
$f(x) = \frac{p(x)}{g(x)}$
où $p(x)$ et $g(x)$ sont des polynômes.

Domaine de définition :
$D_f = { x \in \mathbb{R} \mid g(x) \neq 0 }$

Remarque :

Si $g(x)$ s’annule en un point $x_0$ , alors :
$D_f = ]-\infty, x_0[ \cup ]x_0, +\infty[.$
Si $g(x)$ s’annule en plusieurs points $(x_1, x_2, \dots)$ , alors :
$D_f = ]-\infty, x_1[ \cup ]x_1, x_2[ \cup \dots \cup ]x_n, +\infty[.$

1.2.3. Fonctions irrationnelles

a) Fonction de la forme $\sqrt[n]{p(x)}$

Si $n$ est pair :
$D_f = { x \in \mathbb{R} \mid p(x) \geq 0 }.$
Si $n$ est impair :
$D_f = \mathbb{R}.$

b) Fonction de la forme $\frac{p(x)}{\sqrt[n]{g(x)}}$

Si $n$ est pair :
$D_f = { x \in \mathbb{R} \mid g(x) > 0 }.$
Si $n$ est impair :
$D_f = { x \in \mathbb{R} \mid g(x) \neq 0 }.$

1.3. Fonctions paires et impaires

Une fonction est paire si :
$f(-x) = f(x) \quad \text{pour tout} \quad x \in D_f.$
Exemple : $f(x) = x^2.$

Une fonction est impaire si :
$f(-x) = -f(x) \quad \text{pour tout} \quad x \in D_f.$
Exemple : $f(x) = x^3.$

1.4. Fonction périodique

Une fonction $f$ est périodique s’il existe un réel $T > 0$ tel que :
$f(x + T) = f(x) \quad \text{pour tout} \quad x \in D_f.$

Exemples :

$f(x) = \sin(x)$ et $f(x) = \cos(x)$ ont pour période $T = 2\pi.$
$f(x) = \tan(x)$ a pour période $T = \pi.$

1.5. Opérations sur les fonctions

Soient $f_1, f_2, \dots, f_n$ des fonctions définies respectivement sur $D_1, D_2, \dots, D_n$ .

Somme :
$f(x) = f_1(x) + f_2(x) + \dots + f_n(x)$ est définie sur $D_f = D_1 \cap D_2 \cap \dots \cap D_n.$
Produit :
$f(x) = f_1(x) \cdot f_2(x) \cdots f_n(x)$ est définie sur $D_f = D_1 \cap D_2 \cap \dots \cap D_n.$