Questions de Physique : Mouvement rectiligne et chute libre.

Mouvement rectiligne et chute libre

1. Mouvement rectiligne uniforme

Un mobile effectue un mouvement rectiligne uniforme lorsque :

Sa trajectoire est une ligne droite.
Sa vitesse reste constante au cours du temps.

Équation horaire :
$x = v \cdot t$

Où :

$x$ : distance parcourue (en mètres).
$v$ : vitesse constante (en m/s).
$t$ : temps écoulé (en secondes).

2. Mouvement rectiligne uniformément accéléré

Un mobile effectue un mouvement rectiligne uniformément accéléré lorsque :

Sa trajectoire est une ligne droite.
Son accélération est constante.

Équation horaire :
$x = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0$

Expression de la vitesse :
$v = a \cdot t + v_0$

Accélération :
$a = \text{Cste}$

Où :

$x$ : position à l’instant $t$ (en mètres).
$a$ : accélération constante (en m/s²).
$x_0$ : position initiale (en mètres).
$v_0$ : vitesse initiale (en m/s).
$v$ : vitesse à l’instant $t$ (en m/s).
$t$ : temps écoulé (en secondes).

Remarque :

Si $a > 0$ , le mouvement est accéléré.
Si $a < 0$ , le mouvement est ralenti.
Si $a = 0$ , le mouvement est uniforme.

Si la vitesse et l’accélération sont dans le même sens, le mouvement est accéléré.
Si elles sont en sens opposé, le mouvement est ralenti.

3. Chute libre

Chute libre sans vitesse initiale
Un corps est en chute libre lorsqu’il est soumis uniquement à son poids.

Accélération gravitationnelle :
$g \approx 9,8 \, \text{m/s}^2$

Équation horaire :
$h = \frac{1}{2} g \cdot t^2$

Équation de la vitesse :
$v = g \cdot t$

Chute libre avec une vitesse initiale verticale

Équation horaire :
$h = \frac{1}{2} g \cdot t^2 + v_0 \cdot t$

Équation de la vitesse :
$v = g \cdot t + v_0$

Si $v_0$ est orientée vers le bas, le mouvement est accéléré.
Si $v_0$ est orientée vers le haut, le mouvement est ralenti.

4. Relations particulières

Relation entre la variation de vitesse et l’espace parcouru :
$v^2 - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot x$

Où :

$v_0$ : vitesse initiale (en m/s).
$v$ : vitesse finale (en m/s).
$a$ : accélération (en m/s²).
$x$ : distance parcourue (en mètres).

Applications pratiques

Exercice 1 :
L’abscisse d’un mobile est donnée par $x = 4t^2 - 3t - 4,5$ , en centimètres. À quel point le mouvement change-t-il de sens ?
Solution :
Le mouvement change de sens lorsque la vitesse est nulle.

Vitesse :
$v = \frac{dx}{dt} = 8t - 3$
À l’instant où $v = 0$ :
$0 = 8t - 3 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{3}{8} \, s$

À cet instant :
$x = 4 \left(\frac{3}{8}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{8} - 4,5 = -\frac{81}{16} \, \text{cm}$
Réponse : B

Exercice 2 :
Un mobile suit l’équation $x = b + c \cdot t$ , où $b$ et $c$ sont des constantes.
Que peut-on en déduire ?

Solution :
Cette équation correspond à un mouvement rectiligne uniforme.

L’accélération est nulle.
La vitesse est constante et vaut $c$ .
L’abscisse initiale est $b$ .

Réponse : d)

Exercice 3 :
Une bille est lancée verticalement avec une vitesse initiale de $180 \, \text{km/h}$ (soit $50 \, \text{m/s}$ ). Combien de temps met-elle pour revenir à son point de départ ?

Solution :
Le mouvement est uniformément retardé à la montée, avec une accélération $g \approx 10 \, \text{m/s}^2$ .

Montée :
$v = v_0 - g \cdot t$
$0 = 50 - 10 \cdot t \quad \Rightarrow \quad t = 5 \, s$

Temps total (montée + descente) :
$2 \cdot 5 = 10 \, s$
Réponse : B

Exercice 4 :
Un corps en chute libre parcourt 10 mètres lors de sa dernière seconde. De quelle hauteur a-t-il été lâché ?

Solution :
L’espace parcouru pendant la nième seconde est donné par :
$x_n - x_{n-1} = g \cdot \left(n - \frac{1}{2}\right)$

Avec $g = 10 \, \text{m/s}^2$ , on obtient :
$10 = 10 \cdot \left(n - \frac{1}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad n = 1,5 \, s$

Hauteur totale :
$x = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (1,5)^2 = 11,25 \, \text{m}$
Réponse : B

Exercice 5 :
Un mobile effectue un mouvement rectiligne uniformément accéléré. Il parcourt des espaces croissants de 1 mètre toutes les 0,25 secondes. Quelle est son accélération ?

Solution :
Les espaces parcourus forment une progression arithmétique de raison $r = 1 \, \text{m}$ .

L’accélération est donnée par :
$a = \frac{r}{q^2} = \frac{1}{(0,25)^2} = 16 \, \text{m/s}^2$
Réponse : D

Exercice 6 :
Une pierre atteignant 10 mètres après 1 seconde est lancée avec une vitesse initiale $v_0$ . On néglige la résistance de l’air. Quelle est cette vitesse initiale ?

Solution :
L’équation horaire du mouvement est :
$x = \frac{1}{2} g t^2 + v_0 \cdot t$

Avec $x = 10 \, \text{m}$ et $t = 1 \, s$ :
$10 = \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot 1^2 + v_0 \cdot 1$
$10 = 4,9 + v_0 \quad \Rightarrow \quad v_0 = 5,1 \, \text{m/s}$
Réponse : C